摘 要:函数的延拓就是把一个区间上的函数拓展到更大区间上，一个重要的方法是利用周期函数的性质，其中更大区间的长度为一个周期。本文将研究通过快速傅里叶的方法来解决函数延拓的问题。快速傅里叶变换（FFT），是离散傅里叶变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。本文在利用快速傅里叶变换解决函数延拓的问题时，关键是要利用离散傅里叶变换构造一个周期函数。

本文第一、二章主要介绍离散傅立叶变换的背景知识和其快速算法实现的原理。

本文第三章介绍如何根据已知区间上的函数离散节点值把函数延拓到一个更大区间的周期函数。这里延拓函数的限制条件为在原区间上与已知函数的离散节点值相同，在延拓区间上延拓函数尽可能具有较高的光滑性，用参数p控制。实现原理是函数的光滑性与其傅立叶变换的联系。

本文第四章主要介绍几个数值例子，延拓函数为光滑的周期函数并考察光滑参数p的影响。这里主要利用数学软件Matlab和VC++。

本文第五章总结本论文的主要工作和提出未来工作展望。

关键词：离散傅里叶变换；快速傅里叶变换；函数延拓；Matlab；VC++

目录

摘要

ABSTRACT

第1章 绪论-1

1.1课题背景-1

1.2 课题意义-1

1.3 本文研究内容-2

第2章 快速Fourier变换的算法和实现-3

2.1 离散抽样数据的傅立叶变换-3

2.2  离散抽样数据的傅立叶变换-3

2.3  离散傅立叶变换-3

2.4  快速傅里叶变换-5

2.4.1关于快速傅里叶变换-5

2.4.2 提高快速傅里叶变换的一些方法-6

2.4.3 目前技术状态-7

第3章 理论分析-9

第4章 数值实验模拟-13

第5章 结论与展望-19

5.1结论-19

5.2不足之处及未来展望-19

参考文献-21

致  谢-23

附录A： 快速傅里叶变换的程序-25