摘要:本文研究的是积分的计算技巧与方法的问题,对高等数学中积分的计算技巧进行了比较全面的概述.从定积分的计算技巧（对称性、换元法）出发,依次讨论了二重积分、三重积分、曲线积分以及曲面积分的计算问题.对于重积分,本文讨论了有关的计算技巧问题.利用交换积分次序、对称性、坐标系的选取、坐标变换法等来简化特定条件类型的积分问题.且每一种情形分别列举了具体的示例.对于曲线积分,计算较为复杂,应用了凑全微分法、代入技巧等其它方法,所以本文中的积分计算方法一般在大学课本中不出现.对于曲面积分,引入了矢量点积法、高斯公式等其它方法,不同类型的积分计算技巧既相同的方法又有相异的方法.通过交换积分次序、对称性、相对奇偶性、坐标系适当选取来简化积分、以及换元法等方法的结合的灵活应用,主要解决分段函数、抽象函数等一些特殊函数的积分.        

关键词：交换积分次序；对称性；奇偶性；坐标变换法；换元法

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1 研究背景-1

1.2 研究意义-1

1.3 本文的主要工作-1

2 定积分的几种计算技巧-3

2.1 对称性在定积分中的应用-3

2.2 换元法在定积分中的应用-3

3 二重积分的几种计算技巧-5

3.1 交换积分次序在二重积分中的应用-5

3.2 对称性在二重积分中的应用-7

3.3 坐标系的选取在二重积分中的应用-9

4 三重积分的几种计算技巧-11

4.1 变量变换在三重积分计算中的应用-11

4.2 对称性在三重积分中的应用-11

4.3 坐标变换法在三重积分中的应用-13

5 曲线积分的几种计算技巧-15

5.1 对称性在第一类曲线积分中的应用-15

5.2 凑全微分法在第二类曲线积分中应用-16

5.3 对称性在第二类曲线积分中的应用-17

6 曲面积分的几种计算技巧-19

6.1 对称性在第一类曲面积分中的应用-19

6.2 矢量点积法在第二类曲面积分中的应用-20

6.3 对称性在第二类曲面积分中的应用-21

6.4 高斯公式在第二类曲面积分中的应用-23

结论-24

致谢-25

参考文献-26