摘要

　　　丢番图方程在数论中是一个重要的分支，具有丰富的内容，在数论、代数、组合数学中都有广泛的应用，其中，有许多实际问题的解决都将归结为求丢番图方程的整数解。然而，在求丢番图方程的解时经常会遇到许多困难，因此，本文以丢番图方程x2+y2=n作为研究对象，从以下三个部分进行研究：

　　　一、给出丢番图方程x2+y2=n有解的充要条件，文中主要引用了相关文献中已经证明的定理和结论。

　　　二、讨论了丢番图方程x2+y2=n的整数解问题，探讨了该方程的初等解法和高等解法，在研究的过程中发现两种新的求解方法——递降法和解析试验法。

　　　三、考虑了关于丢番图方程x2+y2=n的应用问题，将发现的新求法应用在有关的数学奥赛题中。

关键词：丢番图方程；初等解法；高等解法；应用