中文摘要：通过有限覆盖定理在实数完备性中的应用，整理并归纳出有限覆盖定理在微分、积分、集合及相关方向的使用方法，概括其适用的领域。

关键词：有限覆盖定理；微分； 积分； 集合；应用领域

Abstract:Through the application of Heine-Borel theorem in real numbers’ completeness, the methods of using Hene-Borel theorem in Differential, Integral, Set and other relevant directions can be inducted, and its applicable fields as well.

Keywords:Heine-Borel theorem； Differential,； Integral； Set；Applicable fields

有限覆盖定理主要应用于实数的完备性中，在实变函数、复变函数及相关的“由无限转化为有限”，“整体与部分的相互转化”的问题中广泛应用。其难度性较大，适用范围几乎覆盖数学所有方向，但目前尚未有一套完整的著作对其进行相关的整理与归纳。本文在此基础之上，简单概括有限覆盖定理在积分、微分、集合及相关方向的应用，分析其应用的方法。

文章在实数完备性的七大定理的基础之上对有限覆盖定理给以了证明，并以此为基础，采用反证法，归纳法，分析法等多种方法证明了有限覆盖定理在相关的“由无限转化为有限”，“整体与部分的相互转化”的问题中广泛应用。其应用的方法，归纳起来，就是利用有限覆盖定理的特殊性，先分析问题，借助数学中的相关定理与性质，找出点或点集，通过有限覆盖定理找出这一点的一个有限开覆盖，然后通过反证法或分析法找出矛盾，从而解决问题。