摘要:积分在数学分析中有很重要的地位，其计算也是高等数学的一个难点。有些学生在积分计算时,经常不注意问题的特点，把计算复杂化，从而增加了计算的难度。积分的计算方法有许多种, 相关文献都对其有探讨, 但是对对称性以及函数奇偶性的研究却很少涉及。对称性和奇偶性在积分运算中有着很重要的意义, 在解决某些复杂的积分问题时，若能注意到积分区域的对称性及被积函数的奇偶性或将两者有效结合，从函数的奇偶性或者对称性入手，充分利用这些有利条件，往往可以使计算简单化，达到事半功倍的效果使得问题简便明了。

积分的计算作为高等数学中的一个极其重要的部分，由于其高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性的特点，因此，积分的计算也是高等数学的一个难点。本文主要针对于积分的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性的特点，从函数奇偶性以及积分区域对称性入手，探讨如何使得复杂的积分问题简便化。

关于积分区域的对称性及被积函数的奇偶性的利用要注意积分的类型。一般的结论对定积分、重积分、第一类曲线积分及第一类曲面积分可以加以利用，而对于第二类曲线积分及第二类曲面积分则普遍采用先将它们转化为定积分或重积分，再考虑是否利用对称性。最后应对定积分、重积分、曲线及曲面积分总结其规律性，并列举典型例子分别加以说明。

关键词  曲面积分；曲线积分；对称性；奇偶性

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1 课题研究的背景及现状-1

1.2 解决的主要问题-1

1.3 本文的主要工作-2

1.4 研究的意义-2

1.4.1 研究的理论意义-2

1.4.2 研究的实践意义-2

1.4.3 本文研究的不足-2

2 相关的基础知识-3

2.1 函数的奇偶性定义、图像特征及其性质-3

2.1.1 函数奇偶性的定义-3

2.1.2 奇函数和偶函数的图像特征-3

2.1.3 奇函数和偶函数的性质-3

2.2 函数的对称性-4

2.2.1 函数对称性的定理、证明及其推论-4

3 利用函数奇偶性及积分区域对称性解决积分问题-7

3.1利用积分区域对称性和被积函数奇偶性解决第一类曲面（线）积分-7

3.1.1 计算第一类曲线积分的对称性方法-7

3.1.2 计算第一类曲面积分的对称性方法-9

3.2 利用积分区域对称性和被积函数奇偶性解决第二类曲面（线）积分-11

3.2.1 计算第二类曲线积分的对称性方法-12

3.2.2 计算第二类曲面积分的对称性方法-13

3.3 利用积分区域对称性和被积函数奇偶性解决二重积分-15

3.3.1 区域的对称性及二元函数的相对奇偶性的应用-15

结论-19

致谢-20

参考文献-21