摘要:凸函数是一类比较重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，考虑到凸函数与连续性、可导性之间的联系及凸函数在不等式证明方面的作用和意义。本文提出了凸函数的几种不同定义，并讨论了它们之间的等价性及凸函数的有关性质和它在不等式方面的相关应用。由于上凸函数和下凸函数统称为凸函数，所以本文所讨论的凸函数在没有明显指出的情况下都是指下凸函数。

不等式、不等式、不等式在数学中有着广泛的应用，有多种特殊形式及其推广形式，本文主要讨论了上面三类不等式的推广和应用。

本文共分为五章，第1章主要是凸函数的几个等价定义、性质、判定方法及简单应用；第2章、第3章主要是不等式、不等式、不等式的推广形式、证明及其应用；第4章中把不等式、不等式、不等式在概率论（期望）上进行了推广；第5章是几个不等式的应用。

关键词 凸函数；可测函数；琴生不等式；霍尔德不等式；闵可夫斯基不等式

目录

摘要

Abstract

1 一般线性空间上的凸函数-1

1.1 凸函数定义-1

1.2 凸函数的几个性质-4

1.3 凸函数性质的简单应用-5

1.4 凸函数的判定方法-6

1.4.1 定义法-6

1.4.2 差商和微商法-6

1.4.3 对称导数法-7

2 凸函数的不等式-8

2.1 不等式-8

2.1.1 离散形式的不等式-8

2.1.2 不等式的积分形式-9

2.2 不等式的推广-9

3 由不等式生成的不等式-12

3.1 不等式-12

3.2 不等式的推广-13

3.3 不等式-16

3.4 的推广-17

4 随机向量期望的不等式-19

5 几个不等式的应用-23

5.1 凸函数定义的不等式-23

5.2 不等式的应用-23

5.3 不等式的应用-24

5.4 的应用-26

结论-27

致谢-28

参考文献-29